Calculer P(2012) (rien à voir avec les Présidentielles de 2012! quoique...)
Bon, un petit coup de main pour les esprits rouillés: on pourra utiliser le polynôme Q défini par Q(x)=(x+1)P(x) - x.
Une dernière indication pour la route: en Première, ils ne connaissent pas les nombres complexes.
5 commentaires:
L'indication donne la solution. (x+1)P(x)-x a pour racines 0, 1, ..., 2011 et est de degré 2012 (et non 2011 comme dans l'énoncé, puisqu'il a 2012 racines de 0 à 2011).
C'est donc:
P(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2011)
On voit que P(2012)=1x2x3x...x2012=2012!
Trop simple avec l'indication. Mais vachement hard sans.
oups oups oups...
C'est facile ... d'être un peu trop rapide.
Le polynôme Q(x) a bien 0, 1, ..., 2011 comme racines (par construction de Q et définition de P); soit 2012 racines pour un polynôme de degré ... 2011+1 (degré de P + un pour le binôme x+1 en facteur).
Chouette on a donc toutes les racines de Q.
On a donc Q(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2011)*A; il nous reste à lever l'indétermination restante: A (rappel: il existe une infinité de polynômes du degré n donné possédant n racines fixées; ils sont tous proportionnels).
Bon, comment trouver A maintenant? et donc P(2012), qui n'est définitivement pas parti pour valoir 2012! Too bad
Exact trop rapide (tellement rapide que ton commentaire est daté 2h avant le mien...).
En fait, ce que j'ai factorisé, c'est Q et non P.
En faisant passer P de l'autre coté:
P(x)=x((x-1)(x-2)...(x-2011)+1)/(x+1)
On vérifie l'énoncé pour P(0), P(1), ..., P(2011)
Et pour P(2012), on trouve une horreur du genre:
2012(2012!+1)/2013
Ca me parait faux et moche, mais comme j'ai encore un peu de taf, je te laisse me corriger :)
bof bof bof. Il y a le coefficient A qu'il faut trouver.
Je dirais bien que Q(-1)=0*P(-1) - (-1)=1
Donc A=1/2012!
Et c'est ça qui va donner le joli résultat que tu pressentais (un bon vieux réflexe de prépa).
Q(2012)=A*2012*2011*...*1=1 (ça sent bon, non?)
P(2012)=[Q(2012)+2012]/2013=1
ouf, la morale est sauf, c'est joli et tout se termine bien en 2012!
Mouais, je suis largué, c'est dur de vieillir
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